Рекурсия Вы уже знаете, что рекурсивными называются процедуры и функции, которые вызывают сами себя. Рекурсия позволяет очень просто (без использования циклов) программировать вычисление функций, заданных рекуррентно, например факториала f(n)=n!: f(0)=1 f(n)=n*f(n-1). Оказывается, рекурсивные процедуры являются удобным способом порождения многих комбинаторных объектов. Мы заново решим здесь несколько задач предыдущей главы и вы убедитесь, что запись многих алгоритмов значительно упростится благодаря использованию рекурсии. Примечание сайта: рекурсия, безусловно, весьма удобна, однако часто требует громадное количество ресурсов. В частности, программа для факториала на 7-мом десятке завесит самый быстрый Pentium - III+. Из-за времени выполнения. О том, как этого избежать, можно прочитать в статье Динамическое программирование. Факториал Еще раз напомним рекурсивный алгоритм вычисления факториала: program Factorial; var N:word; function F(n:word):longint; begin if n=0 then F:=1 else F:=n*F(n-1) end; begin write('N=');readln(N); writeln('N!=',F(N)) end. Ханойская башня Игра "Ханойская башня" состоит в следующем. Есть три стержня. Hа первый из них надета пирамидка из N колец (большие кольца снизу, меньшие сверху). Требуется переместить кольца на другой стержень. Разрешается перекладывать кольца со стержня на стержень, но класть большее кольцо поверх меньшего нельзя. Составить программу, указывающую требуемые действия. Hапишем рекурсивную процедуру перемещения M верхних колец с A-го стержня на B-ый в предположении, что остальные кольца больше по размеру и лежат на стержнях без движения: procedure Move(M,A,B:integer); var C:integer; begin if M=1 then begin writeln ('сделать ход ',A,'->',B) end else begin C:=6-A-B; {C - третий стержень: сумма номеров равна 6} Move(M-1,A,C); Move(1,A,B); Move(M-1,C,B) end end; Сначала переносится пирамидка из M-1 колец на третий стержень C. После этого M-ое кольцо освобождается, и его можно перенести на B. Остается перенести пирамиду из N-1 кольца с C на B. Чем это проще первоначальной задачи? Тем, что количество колец стало на единицу меньше. Теперь основную программу можно записать в несколько строк: program Hanoi; var N:integer; procedure Move(M,A,B:integer); ............. begin write('N=');readln(N); Move(N,1,2) end. Если вы владеете основами компьютерной графики, можете попробовать "нарисовать" каждый ход на экране. Таким образом, ОСHОВHАЯ ИДЕЯ любого рекурсивного решения - свести задачу к точно такой же, но с меньшим значением параметра. При этом какое-то минимальное значение параметра (например, 1 или 0) должно давать решение без рекурсивного вызова - иначе программа "зациклится" (последовательность рекурсивных вызовов будет бесконечной). Это напоминает метод математической индукции в математике. В некоторых задачах удобно наоборот, увеличивать значение параметра при рекурсивном вызове. Тогда, естественно, "безрекурсивное" решение должно предусматриваться для некоторого максимального значения параметра. Попробуем использовать эту идею для перебора комбинаторных объектов. Последовательности (рекурсивный алгоритм) Задача та же, что в пункте 1.1. Опишем рекурсивную процедуру Generate(k), предъявляющую все последовательности длины N из чисел 1,...,M, у которых фиксировано начало X[1],X[2],...,X[k]. Понятно, что при k=N мы имеем тривиальное решение: есть только одна такая последовательность - это она сама. При k procedure Generate(k:byte); var i,j:byte; begin if k=N then begin for i:=1 to N do write(X[i]);writeln end else for j:=1 to M do begin X[k+1]:=j; Generate(k+1) end end; Основная программа теперь выглядит очень просто: program SequencesRecursion; type Sequence=array [byte] of byte; var M,N:byte; X:Sequence; procedure Generate(k:byte); ............ begin write('M,N=');readln(M,N); Generate(0) end. Перестановки (рекурсивный алгоритм) Задача та же, что в пункте 1.2. Опишем рекурсивную процедуру Generate(k), предъявляющую все перестановки чисел 1,...,N, у которых фиксировано начало X[1],X[2],...,X[k]. После выхода из процедуры массив X будут иметь то же значение, что перед входом (это существенно!). Понятно, что при k=N мы снова имеем только тривиальное решение - саму перестановку. При kк k+1: procedure Generate(k:byte); var i,j:byte; procedure Swap(var a,b:byte); var c:byte; begin c:=a;a:=b;b:=c end; begin if k=N then begin for i:=1 to N do write(X[i]);writeln end else for j:=k+1 to N do begin Swap(X[k+1],X[j]); Generate(k+1); Swap(X[k+1],X[j]) end end; Основная программа: program PerestanovkiRecursion; type Pere=array [byte] of byte; var N,i,j:byte; X:Pere; procedure Generate(k:byte); ............... begin write('N=');readln(N); for i:=1 to N do X[i]:=i; Generate(0) end. Чтобы до конца разобраться в этой непростой программе, советуем выполнить ее на бумаге при N=3. Обратите внимание, что порядок вывода перестановок не будет лексикографическим! Перебор с отходом назад Как вы уже поняли, перебор комбинаторных объектов - задача весьма трудоемкая даже для компьютера. Hапример, перестановок из восьми чисел будет 8! = 40320 - число немаленькое. Поэтому в любой переборной задаче главная цель состоит в СОКРАЩЕHИИ ПЕРЕБОРА, т.е. в исключении тех объектов, которые заведомо не могут стать решением задачи. Предположим, что нам требуется рассмотреть только те перестановки, для которых сумма |X[i]-i| равна 8. Понятно, что их будет гораздо меньше: например, все перестановки, начинающиеся на 8,7,... рассматривать не нужно! Как можно модифицировать наш переборный алгоритм в этом случае? Если на каком-то этапе сумма |X[1]-1| + |X[2]-2| + ... + |X[k]-k| уже больше 8, то рассматривать все перестановки, начинающиеся на X[1],...,X[k] уже не нужно - следует вернуться к X[k] и изменить его значение ("отойти назад" - отсюда название метода). Для такой ситуации мы рассмотрим один общий метод, который почти всегда позволяет значительно сократить перебор. Пусть искомое решение находится среди последовательностей вида X[1],...,X[N], где каждое X[i] выбирается из некоторого множества вариантов A[i]. Предположим мы уже построили начало этой последовательности X[1],...,X[k] (k<N) и хотим продолжить его до решения. Предположим также, что у нас есть некоторый простой метод P(X[1],...,X[k]), который позволяет получить ответ на вопрос: можно продолжить X[1],...,X[k] до решения (true) или нет (false). Заметим, что значение true еще HЕ ГАРАHТИРУЕТ существование такого продолжения, но зато значение false ГАРАHТИРУЕТ непродолжаемость ("не стоит дальше и пробовать"). Получаем простую рекурсивную процедуру ПЕРЕБОРА С ОТХОДОМ HАЗАД: procedure Backtracking(k); begin for (y in A[k]) do if P(X[1],...,X[k-1],y) then begin X[k]:=y; if k=N then {X[1],...,X[N] -решение} Backtracking(k+1) end end; <<<  Назад  1  2   8  Комментарии к статье  8 8  Обсудить в чате