Гамма-функция, задаваемая соотношением , входит в нормирующий множитель практически во все функции распределения. Поэтому, естественно, важно уметь ее вычислять. Трудность, однако, в том, что эта функция очень быстро растет: ведь для нее выполнено соотношение , т.е. для целых аргументов она растет как факториал, и не медленнее для дробных. Быстрый рост чисел, с которыми приходится оперировать, необходимо учитывать и при вычислении собственно функций распределения. Скажем, вычисляя гамма-распределение, мы должны помнить о том, что неполная гамма-функция, нормирующим множителем для которой является , при большом аргументе становится близкой к . т.е. тоже большой. Поэтому, не удается разделить вычисления - сначала вычислить неполную гамма-функцию, потом полную, а потом поделить одну на другую. Приходится изобретать уловки, позволяющие справиться с ситуацией. Стандартная 'волшба' в подобных случаях - разделить вычисляемую функцию на произведение 'трудной' и легкой частей, где 'трудная' часть является произведением двух или большего числа быстро растущих сомножителей, и вычислять не саму 'трудную' часть, а логарифм от нее. Вот и пример. При x < a+1 для вычисления функции гамма-распределения мы используем разложение , распадающееся на 'простую' часть , при работе с которой мы не сталкиваемся с слишком большими числами (факториал в знаменателе растет быстрее степени), и 'трудную', которую мы вычисляем как . При x > a+1, для вычисления гамма-распределения используется разложение в цепную дробь, куда входит аналогичный 'трудный' сомножитель. Другой пример. Вычисляя бета-распределение при небольших x, мы используем цепную дробь . И снова разложение распадается, и 'трудную' часть мы вычисляем как . И снова нужно уметь вычислять логарифм гамма-функции, поскольку . В нижеследующих кодах используется асимптотическое разложение логарифма гамма-функции, которое (к сожалению, в недостаточно полном виде) можно найти в горячо рекомендуемом справочнике по специальным функциям М.Абрамовица и И.Стигана: Когда аргумент z достаточно велик, его первые 20 членов дают около 50 верных знаков, если не учитывать ошибки, вызываемые конечной разрядностью. Отражением асимптотического характера ряда в кодах является увеличение слишком малого аргумента: если z меньше некоей границы (в данных кодах 7), он увеличивается, причем для корректировки используется упомянутое выше соотношение . Вперед  >>>  1  2   8  Комментарии к статье  8 8  Обсудить в чате