Наиболее эффективным средством построения простых чисел является несколько модифицированная малая теорема Ферма. Пусть N, S --- нечётные натуральные числа, N-1 = S*R, причем для каждого простого делителя q числа S существует целое число a такое, что aN-1=1(mod N), НОД( a(N-1)/q-1, N ) = 1 Тогда каждый простой делитель p числа N удовлетворяет сравнению p = 1(mod 2S) Следствие. Если выполнены условия теоремы Ферма и R <= 4S+2, то N --- простое число. Покажем теперь, как с помощью последнего утверждения, имея большое простое число S, можно построить существенно большее простое число N. Выберем для этого случайным образом чётное число R на промежутке R <= 4S+2 и положим N=SR+1. Затем проверим число N на отсутствие малых простых делителей, разделив его на малые простые числа; испытаем N некоторое количество раз с помощью алгоритма Рабина. Если при этом выяснится, что N --- составное число, следует выбрать новое значение R и опять повторить вычисления. Так следует делать до тех пор, пока не будет найдено число N, выдержавшее испытания алгоритмом Рабина достаточно много раз. В этом случае появляется надежда на то, что N --- простое число, и следует попытаться доказать простоту с помощью тестов теоремы 2. Для этого можно случайным образом выбирать число a, 1 < a < N, и проверять для него выполнимость соотношений aN-1=1(mod N), НОД(aR-1, N)=1. Если при выбранном a эти соотношения выполняются, то, согласно следствию из теоремы Ферма, можно утверждать, что число N простое. Если же эти условия нарушаются, нужно выбрать другое значение a и повторять эти операции до тех пор, пока такое число не будет обнаружено. Предположим, что построенное число N действительно является простым. Зададимся вопросом, сколь долго придётся перебирать числа a, пока не будет найдено такое, для которого будут выполнены условия (12). Заметим, что для простого числа N первое условие (12), согласно малой теореме Ферма, будет выполняться всегда. Те же числа a, для которых нарушается второе условие (12), удовлетворяют сравнению aR=1(mod N). Как известно, уравнение xR=1 в поле вычетов Fn имеет не более R решений. Одно из них x=1. Поэтому на промежутке 1 < a < N имеется не более R-1 чисел, для которых не выполняются условия (12). Это означает, что, выбирая случайным образом числа a на промежутке 1 < a < N, при простом N можно с вероятностью большей, чем 1-O(S-1), найти число a, для которого будут выполнены условия теоремы Ферма, и тем доказать, что N действительно является простым числом. Заметим, что построенное таким способом простое число N будет удовлетворять неравенству N>S2, т.е. будет записываться вдвое большим количеством цифр, чем исходное простое число S. Заменив теперь число S на найденное простое число N и повторив с этим новым S все указанные выше действия, можно построить ещё большее простое число. Начав с какого-нибудь простого числа, скажем, записанного 10 десятичными цифрами (простоту его можно проверить, например, делением на маленькие табличные простые числа), и повторив указанную процедуру достаточное число раз, можно построить простые числа нужной величины. Обсудим теперь некоторые теоретические вопросы, возникающие в связи с нахождением числа R, удовлетворяющего неравенствам S <= R <= 4S+2, и такого, что N=SR+1 -- простое число. Прежде всего, согласно теореме Дирихле, доказанной ещё в 1839г., прогрессия 2Sn+1, n=1,2,3,... содержит бесконечное количество простых чисел. Нас интересуют простые числа, лежащие недалеко от начала прогрессии. Оценка наименьшего простого числа в арифметической прогрессии была получена в 1944г. Ю.В.Линником. Соответствующая теорема утверждает, что наименьшее простое число в арифметической прогрессии 2Sn+1 не превосходит SC, где C -- некоторая достаточно большая абсолютная постоянная. В предположении справедливости расширенной гипотезы Римана можно доказать, что наименьшее такое простое число не превосходит c(e)*S2+e при любом положительном e. Таким образом, в настоящее время никаких теоретических гарантий для существования простого числа N=SR+1, S < R < 4S+2 не существует. Тем не менее опыт вычислений на ЭВМ показывает, что простые числа в арифметической прогрессии встречаются достаточно близко к её началу. Упомянем в этой связи гипотезу о существовании бесконечного количества простых чисел q с условием, что число 2q+1 также простое, т.е. простым является уже первый член прогрессии. Очень важен в связи с описываемым методом построения простых чисел также вопрос о расстоянии между соседними простыми числами в арифметической прогрессии. Ведь убедившись, что при некотором R число N=SR+1 составное, можно следующее значение R взять равным R+2 и действовать так далее, пока не будет найдено простое число N. И если расстояние между соседними простыми числами в прогрессии велико, нет надежды быстро построить нужное число N. Перебор чисел R до того момента, как мы наткнемся на простое число N окажется слишком долгим. В более простом вопросе о расстоянии между соседними простыми числами pn и pn+1 в натуральном ряде доказано лишь, что pn+1-pn=O(pn38/61+e), то, конечно, не очень хорошо для наших целей. Вместе с тем существует так называемая гипотеза Крамера (1936г.), что pn+1-pn=O(ln2pn), дающая вполне приемлемую оценку. Примерно такой же результат следует и из расширенной гипотезы Римана. Вычисления на ЭВМ показывают, что простые числа в арифметических прогрессиях расположены достаточно плотно. В качестве итога обсуждения в этом пункте подчеркнём следующее: если принять на веру, что наименьшее простое число, а также расстояние между соседними простыми числами в прогрессии 2Sn+1 при S <= n <= 4S+2 оцениваются величиной O(ln2S), то описанная схема построения больших простых чисел имеет полиномиальную оценку сложности. Кроме того, несмотря на отсутствие теоретических оценок времени работы алгоритмов, отыскивающих простые числа в арифметических прогрессиях со сравнительно большой разностью, на практике эти алгоритмы работают вполне удовлетворительно. На обычном персональном компьютере без особых затрат времени строятся таким способом простые числа порядка 10300. Конечно, способ конструирования простых чисел для использования в схеме RSA должен быть массовым, а сами простые числа должны быть в каком-то смысле хорошо распределёнными. Это вносит ряд дополнительных осложнений в работу алгоритмов. Впрочем, описанная схема допускает массу вариаций. Наконец, отметим, что существуют методы построения больших простых чисел, использующие не только простые делители N-1, но и делители чисел N+1, N2+1, N2 +- N+1 $. В основе их лежит использование последовательностей целых чисел, удовлетворяющих линейным рекуррентным уравнениям различных порядков. Отметим, что последовательность an, члены которой присутствуют в формулировке малой теоремы Ферма, составляет решение рекуррентного уравнения первого порядка un+1=aun, u0=1.  8  Комментарии к статье  8 8  Обсудить в чате