Напомним необходимые нам результаты из элементарной теории чисел и алгебры
Малая теорема Ферма. Пусть p -- простое число. Тогда для всякого целого числа b, отличного от нуля, справедливо сравнение bp-1 == 1 (mod p).
Малая теорема Ферма является непосредственным следствием теоремы Лагранжа (порядок любого элемента группы делит порядок группы) и того факта, что кольцо Zp в случае простого p является полем, т.е. все его ненулевые элементы принадлежат группе обратимых элементов. Порядок группы обратимых элементов кольца Zp равен p-1.
Простейший тест проверки простоты числа m состоит в проверке малой теоремы Ферма. Выберем произвольное целое число b (например, b = 2), и возведем его в степень m - 1 по модулю m. Если мы получим не единицу, то по малой теореме Ферма число m составное. Беда состоит в том, что если
bm-1 == 1 (mod m),
то ничего нельзя сказать об m. Древние греки ошибочно полагали, что все числа m, удовлетворяющие обращению малой теоремы Ферма для основания 2, простые: если
2m-1 == 1 (mod m),
то m -- простое число. Минимальный контрпример к этому утверждению был найден только в XVII веке:
2340 == 1 (mod 341), но число 341 -- не простое, 341 = 11 * 31.
(Действительно, 2340 = (2^10)34 = 102434, но 1024 = 3 * 341 + 1 == 1 (mod 341), поэтому 102434 == 1 (mod 341).)
То, что 341 не удовлетворяет малой теореме Ферма, может быть показано с помощью других оснований:
3340 == 56 (mod 341)
Тем не менее существуют числа, которые не являются простыми, но которые ведут себя как простые в малой теореме Ферма. Такие числа называются кармайкловыми.
Определение. Число m называется кармайкловым, если оно не простое и для всякого b, взаимно простого с m, выполняется утверждение малой теоремы Ферма:
bm-1 == 1 (mod m).
Минимальные кармайкловы числа -- это 561, 1105, 1729, ...
Множество кармайкловых чисел бесконечно, и их плотность стремится к нулю на бесконечности. Несложно доказать следующее утверждение.
Предложение 5. Пусть
m = p1e1 * p2e2 * ... * pkek --
представление целого числа m в виде произведения степеней простых. Число m является кармайкловым тогда и только тогда, когда
1) для всякого i показатель степени ei = 1;
2) k >= 3;
3) для всякого i число pi - 1 делит m - 1.
Доказательство.
Докажем только обратную, наиболее интересную импликацию. Пусть число m удовлетворяет условиям 1-3.
Рассмотрим произвольное b, взаимно простое с m. По Китайской теореме об остатках, кольцо Zm представляется в виде прямой суммы
Zm == Zp1 + Zp2 + ... + Zpk.
При этом изоморфизме элемен b представляется в виде строки
b == (b1, b2, ..., bk)
Тогда
bm-1 == (b1m-1, b2m-1, ..., bkm-1.
По малой теореме Ферма, для всякого i
bim-1 == 1 (mod pi),
поскольку (m - 1) делится на (pi - 1).
Поэтому
bm-1 == (1, 1, ..., 1)
т.е. bm-1 == 1 (mod m).
Пример. Покажем, что число 561 является кармайкловым. Действительно, 561 = 3 * 11 * 17. Имеем
(3 - 1) | 560, (11 - 1) | 560, (17 - 1) | 560. Следовательно, число 561 удовлетворяет условиям предложения 5.
Итак, для кармайкловых чисел тест простоты, основанный на теореме Ферма, не работает. Тем не менее его модификация, предложенная Рабином, применима к любым целым числам.
Тест Рабина является вероятностным. Это означает, что он использует датчик случайных чисел и, таким образом, работает не детерминированно. Для входного целого числа m тест Рабина может выдать один из следующих двух ответов.
Число m является составным.
Не знаю.
В случае первого ответа число m действительно является составным, тест Рабина предъявляет доказательство этого факта. Второй ответ может быть выдан как для простого, так и для составного числа m. Однако для любого составного числа m вероятность второго ответа не превышает 1/4. Ценность теста Рабина состоит именно в неравенстве, ограничевающем сверху вероятность второго ответа для произвольного составного числа m.
Таким образом, если мы применим 100 раз тест Рабина к числу m и получим 100 ответов "не знаю", то можно с большой вероятностью утверждать, что число m простое. Более точно, вероятность получения ста ответов "не знаю" для составного числа m не превышает (1/4)100, т.е. практически равна нулю. Тем не менее тест Рабина не предъявляет доказательства того, что число m простое.
Перейдем непосредственно к изложению теста Рабина. Мы проверяем простоту входного числа m. Допустим сразу, что число m нечетное. (Существует только одно четное простое число -- 2.) Тогда число m - 1 четное. Представим его в виде
m - 1 = 2t * s
где s -- нечетное число. Выберем случайное число b такое, что
b =/= 0, b =/= 1 (mod m), 1 < b < m
При выборе b используется датчик случайных чисел.
Используя алгоритм быстрого возведения в степень по модулю m, вычислим следующую последовательность элементов кольца Zm:
x0 == bs (mod m), (1)
x1 == x0 * x0 (mod m),
x2 == x1 * x1 (mod m),
...
xt == xt-1 * xt-1 == bm - 1 (mod m)
(На каждом шаге мы возводим в квадрат число, полученное на предыдущем шаге.)
Тест Рабина выдает ответ 'm -- составное число' в случае, если
xt =/= 1 (mod m), или
в последовательности x0, x1, x2, ..., xt имеется фрагмент вида ..., *, 1, ... где звездочкой обозначено число, отличное от единицы или минус единицы по модулю m.
В противном случае тест Рабина выдает ответ "не знаю". Последовательность x0, x1, ..., xt в этом "плохом" случае либо начинается с единицы, либо содержит (-1) где-нибудь не в конце.
Cуществует алгоритм, доказывающий простоту, со сложностью O(ln3n), согласно которому необходимо провести тест Рабина со всеми числами
2 <= b < 70ln2m,
а затем проверить, не является ли m степенью простого числа. Однако его правильность зависит от недоказанной в настоящее время гипотезы Римана.
Этот алгоритм, опираясь на недоказанный факт, в принципе может 'соврать' в отношении доказательства простоты, хотя если тест Рабина говорит, что число составное, значит так оно и есть. На практике он работает очень даже неплохо.
1 2
8 8 8
| |
*
Обратная связь