Разложения, аппроксимирующие заданную функцию с некоей априори фиксированной точностью, можно получать множеством самых разных способов. Для получения полиномиальных приближений, например, одним из самых простых и мощных является, на мой взгляд, принадлежащий Ланцошу [5] процесс экономизации степенных рядов. Некоторые способы получения рациональных приближений описаны в работах [3, 6]; список литературы, посвященной этой проблематике, легко может быть продолжен. В данном параграфе я приведу несколько таких широко известных разложений [10]. Разложения получены с помощью 'грубой силы': фиксировав вид аппроксимации, по значениям функции в нескольких точках можно оценить значения констант. Точность полученной аппроксимации оценивается сравнением истинных значений F(xi) и аппроксимирующих F*(xi)во многих точках. Успех всего предприятия определяется, конечно, нашей удачливостью в выборе вида аппроксимации. Вот, например, как можно получить разложение A2. Начнем с того, что фиксируем вид аппроксимации (1)  Перепишем (1) в более удобном виде (2)  и положим (3)  Вычислив y(x) в точках x0, x1, x2, x3, получаем четыре нелинейных уравнения для определения констант c0, c1, c2, c3, p: (4)  Полученная система уравнений совместна относительно неизвестных c0, c1, c2, c3 (константу p пока считаем известной) тогда и только тогда, когда детерминант равен нулю. Разложив этот определитель по элементам правого столбца, получаем уравнение (5) f(p)= A0(1+px0)3 + A1(1+px1)3 + A2(1+px2)3 + A3(1+px3)3 = 0, в котором A0, A1, A2 и A3 известны. Для определения корней этого уравнения используется какая-нибудь стандартная процедура, например, метод Ньютона. В работе [10] описаны причины, по которым в качестве p следует выбирать наименьший действительный корень уравнения (5). Отбрасывая теперь любое (например, последнее) уравнение в системе (4), получаем линейную систему решив которую, получаем требуемые значения констант. Переход от разложения вида (2) к разложению A2 тривиален. Алгоритмы, реализующие разложения A1-A4, приведены в приложении B; во всех этих алгоритмах для вычисления полинома использована схема Горнера. A1: F(x) = 1-1/2(1 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4)-4 + e(x), |e(x)| < 2.5?10-4, 0 ? x < z1 = 3.72 a1 = 0.196854, a3 = 0.000344, a2 = 0.115194, a4 = 0.019527; F(x) = 1 при x ? z1. A2: F(x) = 1- j(x) (b1t + b2t2 + b3t3) + e (x), |e(x)| < 10-5, 0 ? x < z2 = 4.27 b1 = 0.4361836, b2 = -0.1201676, b3 = 0.937298; F(x) = 1 при x ? z2. A3: F(x) = 1- 1/2(1 + c1x+ c2x2+ c3x3+ c4x4+c4x5+ c4x6)-16+ e(x), |e(x)| < 1.5?10-7, 0 ?x < z3 = 5.4 c1= 0.0498674370, c4 = 0.0000380036, c2= 0.0211410061, c5= 0.0000488906, c3 = 0.0032776263, c6 = 0.0000053830; F(x) = 1 при x ? z3. A4: F(x) = 1- j (x) (d1t + d2t2 + d3t3 + d4t4 + d5t5) + e (x), |e(x)| < 7.5?10-8, 0 ? x < z4 = 5.6, d1 = 0.319381530, d4 = -1.821255978, d2 = -0.356563782, d5 = 1.330274429, d3 = 1.781477937; F(x) = 1 при x ? z4. Приведу 'до кучи' аппроксимации, позволяющие находить квантили нормального распределения, т.е. значения zq, для которых F(zq) = q. Z1: , |e(x)| < 3*10-3, 0 ?q < 0.5, a0= 2.30753,b1 = 0.99229, a1= 0.27061, b2 = 0.04481. Z2:  |e(x)| < 4.5*10-4, 0 ?q < 0.5, c0= 2.515517,d1 = 1.432788, c1= 0.802853, d2 = 0.189269, c2 = 0.010328, d3 = 0.001308. Первое из этих разложений было использовано в A-алгоритмах для оценки того xe, после которого можно считать, что F(x) = 1. Для вычисления F(x)с заранее фиксированной точностью легко придумать и другие алгоритмы; например, можно попросту посчитать интеграл - скажем, по формуле Симпсона. Здесь приведены наиболее экономные из всех известных мне способов.  8  Комментарии к статье  8 8  Обсудить в чате