Обозначение Область значений Параметры Параметр формы a > 0 Плотность , где - (полная) гамма-функция от параметра a. Функция распределения Не выражается в элементарных функциях Полезные свойства Если ~, i=1,2, то ~. Если ~, i=1,2, то ~. Генерация случайных чисел Если 0 < a <1, возьмем три независимых случайных числа r1, r2, r3, равномерно распределенных на отрезке [0,1]. Положим , . Если s1+s2>1, то возьмем вместо r1, r2 другую пару таких же случайных чисел. Так будем поступать до тех пор, пока не получим . В этом случае зададим y, x1 и x2 следующими соотношениями: y=s1/(s1+s2), x1 = -y ln(r3), x2 = -(1-y) ln(r3). Случайные числа x1 и x2 независимы и распределены как и соответственно. Для значений параметра, больших единицы, можно дополнить этот метод, воспользовавшись свойством аддитивности. Вычисление функции распределения и ее квантилей Легко получить степенные ряды, позволяющие вычислять гамма-распределение (cм. Абрамовиц, Стиган [6.5.29]): , . Как обычно, второй ряд - из-за положительности членов - ведет себя с вычислительной точки зрения лучше первого. Но с ростом x скорость сходимости степенного ряда довольно быстро падает. Зато с ростом x растет скорость сходимости цепной дроби (cм. Абрамовиц, Стиган [6.5.31]): И снова подпоследовательность ее четных подходящих дробей монотонно сходится к нужному значению. Численные эксперименты показывают, что для x, меньших a, лучше использовать степенной ряд, а для больших - цепную дробь. Оказывается, когда x примерно равняется a, требуется просуммировать около членов ряда, причем с уменьшением x число требуемых членов ряда быстро убывает. Аналогично ведет себя цепная дробь при . В большинстве статистических пакетов (в частности, в широко распространенных в России пакетах Statistica и SPSS) функция гамма-распределения зависит от двух параметров, которые принято называть форма (shape) и масштаб (scale). Пусть a - параметр формы, b - параметр масштаба; для функции гамма-распределения будем использовать обозначение . Формула для плотности выглядит в этом случае следующим образом: Внимание: иногда в качестве параметра формы используется . В приведенных ниже кодах предлагается именно этот вариант, ставший де-факто стандартом в прикладной статистике. По умолчанию параметр масштаба равен 1, этот случай соответствует рассмотренному в "основном" тексте. Приводимые коды следует, естественно, рассматривать лишь как иллюстрацию, хотя и работоспособную во всех статистических задачах, с которым я сталкивался. Для работы с этими кодами необходимо уметь вычислять гамма-функцию (см. Приложение А и файлы loggamma.h и loggamma.cpp). Вперед  >>>  1  2   8  Комментарии к статье  8 8  Обсудить в чате