Обозначение Область значений: Параметры Параметры формы: a,b > 0. Плотность , где - (полная) бета-функция от параметров a и b. Математическое ожидание a/(a+b) Дисперсия Функция распределения Не выражается в элементарных функциях Полезные свойства Нет, пожалуй, другого такого распределения, которое встречалось бы в математической статистике столь же часто, как бета-распределение. Достаточно сказать, что его специальным случаем является F-распределение! А именно, функция распределения так называемого F-отношения выражается формулой . Отсюда следует, что при бета-распределение сходится к гамма-распределению. Вот еще несколько любопытных частных случаев. Знаменитый (см. книжку В.Феллера "Теория вероятностей и ее применения") закон арксинуса: Равномерное распределение: . Биномиальное распределение: >. А вот знаменитое свойство симметрии бета-распределения: . При разных значениях параметров функция распределения имеет самые разные свойства. На нижеследующем рисунке приведены графики плотности бета-распределения при нескольких значениях параметров. Генерация случайных чисел Пусть случайные числа r1 и r2 независимы и распределены равномерно на отрезке [0,1]. Положим , . Если s1+s2 > 1, повторим вычисления. Если же s1+s2 1, то r = s1/(s1+s2) подчиняется бета-распределению с параметрами a и b. Вычисления Стандартное разложение плотности в ряд Тейлора и почленное интегрирование приводит к степенному ряду который фигурирует во всех текстах про бета-распределение. Этот ряд сходится довольно медленно. Кроме того, когда a и b велики (что требуется при применения F-распределения к большим выборкам), может возникнуть переполнение. Другие разложения в ряд можно найти в горячо рекомендуемом справочнике М.Абрамовица и И.Стигана "Справочник по специальным функциям", М: Мир 1979. Гораздо более полезным оказалось разложение неполной бета-функции в цепную дробь где , Характер сходимости ее подходящих дробей достаточно сложен, поскольку члены ее звеньев альтернируют. Однако, как часто бывает, четные подходящие дроби ведут себя очень даже пристойно, монотонно сходясь к нужному пределу. Поэтому в нижеследующих кодах в цикле вычисляются две последовательные подходящие дроби: это позволяет в условиях останова иметь дело лишь с четными номерами. Сходимость высока при , в худшем случае потребуется просуммировать подходящих дробей. Если же , естественно использовать симметрию бета-распределения. Для поиска квантилей используется бисекция - метод деления пополам. Приводимые коды следует, естественно, рассматривать лишь как иллюстрацию, хотя и работоспособную во всех статистических задачах, с которыми я сталкивался. Если же задача состоит в разработке методов вычисления одной из специальных функций - неполной бета-функции, то придется учитывать разнообразные частные случаи (например, очень маленькие или очень большие значения параметров a и b, соотношение между x и параметрами a и b и т.п.). Для работы с приводимыми здесь кодами необходимы функции, содержащиеся в файлах logGamma.h и logGamma.cpp (описание см. в Приложении А). Вперед  >>>  1  2   8  Комментарии к статье  8 8  Обсудить в чате