Пусть m - натуральное число, m1, m2, ..., mt - взаимно простые натуральные числа, произведение которых больше либо равно m. Теорема Любое число x: 0 <= x <= m может быть однозначно представлено в виде последовательности r(x) = (r1, r2, ..., rt), где ri = x(mod mi). Для любых чисел r1 .. rt, таким образом, существует единственное число x(mod m), такое что x = ri(mod mi), 1 <= i <= t Более того, любое решение x набора такого сравнений имеет вид x = r1*e1 + ... + rt*et (mod m), где ei = m / mi * ( ( m/mi )-1 mod mi ), 1 <= i <= t. Вышеприведенная формулировка - Китайская Теорема об Остатках в том виде, в котором ее сформулировал в 1247 году нашей эры китаец Jiushao Qin. Заметим, что число m/mi = m1*...*mi-1*mi+1*...*mt взаимно просто с mi, а значит обратное число в формуле для ei всегда существует. Кроме того, имеют место равенства ei*ei = ei (mod m) ei * ej = 0 (mod m), i =/= j. Знакомым с теорией колец: Zm = Zm1 + ... + Zmt, сумма прямая. ei, как следует из равенств выше - ортогональные идемпотенты в кольце Zm. Иначе говоря, кольцо R = Zm разлагается в прямую сумму R = R1 + R2 + ... + Rt , где Ri = Rei = {a*ei (mod m): a - целое} ~ Zmi , 1 <= i <= t. Последовательность ( r1, ..., rt ) называется модульным представлением x. Набор модульных представлений для всех x: 0 <= x <= m называется системой вычетов. Операции Сумма представлений - последовательность wi = ri + ui mod mi Произведение - последовательность zi = ri * ui mod mi. Как восстановить число по системе вычетов? Алгоритм Гаусса Очевидный алгоритм получается, если вычислять x по формуле, данной в теореме: На входе: положительные взаимно простые m1, ..,mt целые r1, .., rt На выходе: Целое число x: x = ri (mod mi), 1 <= i <= t 0 <= x <= m, m = m1*..*mt Вычислить m = m1*..*mt, положить x=0. for i=1, 2, .., t do вычислить yi = m/mi вычислить расширенным алгоритмом Евклида si = yi-1 mod mi ci = ri*si mod mi x = x + ci*yi (mod m) Возвратить x Алгоритм Гарнера Пусть все mi > 1, m = m1*..*mt. Тогда любое число 0 <= x < m может быть однозначным образом представлено в виде x = x0 + x1m1 + x2m1m2 + ... + xt-1m1m2*...*mt-1 , где 0 <= xi < mi+1, i = 0, 1, .., t-1. Для xi верно соотношение xi = ri+1 - ( x0 + x1m1 + .. + xi-1m1mi-1) (mod mi+1) m1*..*mi Таким образом, xi могут быть вычеслены один за другим. Получившийся алгоритм носит имя Гарнера(Garner). Он также пригоден для аналогичных операций с полиномами (в предыдущем алгоритме требуются некоторые изменения). 1. For i from 2 to t { 1.1 Ci := 1; 1.2 For j from 1 to (i-1) { u := mj-1 mod mi; Ci := u*Ci mod mi; } } 2. u := r1; x := u; 3. For i from 2 to t { u := (ri-x)Ci mod mi; x := x + u* [ Произведение mj от j=1 до i-1 ]; } 4. return (x); Пример: пусть m1=5, m2=7, m3=11, m4=13, m = m1*m2*m3*m4 = 5*7*11*13 = 5005, r(x) = (2, 1, 3, 8). Константы Ci: C2=3, C3=6, C4=5. Значения (i, u, x), вычисленные на шаге 3: (1, 2, 2); (2, 4, 22); (3, 7, 267) и (4, 5, 2192). Таким образом модульное представление r(x) отвечает x = 2192. Примечание Нахождение m-1 - обратного элемента по модулю можно осуществить опять по алгоритму Евклида.  8  Комментарии к статье  8 8  Обсудить в чате